道のりとしての対数

概要

\log _ a bが読みづらいので\overrightarrow{a b}と書いてみる。

本文

対数の底の変換公式とよばれる式があります。

\log _ b c = \frac{\log _ a c}{\log _ a b}

これが何かわからなかったので考えてみました。

ある数を2乗してから3乗するのは、6乗するのと同じです。 3乗してから2乗しても同じです。

(2^ 2)^ 3=(2^ 3)^ 2=2^ 6=64

2 \times 3 = 3 \times 2 = 6

対数を使って書くと

(2^ {\log _ 2 4})^ {\log _ 4 {64}}=(2^ {\log _ 2 {8}})^ {\log _ 8 {64}}=2^ {\log _ 2 {64}}=64

{\log _ 2 4} \times {\log _ 4 {64}}={\log _ 2 8} \times {\log _ 8  {64}}=\log _ 2 {64}

一般には

{\log _ a  b} \times {\log _ b  c}={\log _ a  c}

対数 \log _ a bというのは、「aからbまで進むのに何乗すればよいか」を表す道のりのような数で、2乗してから3乗する、というように合成することができます。 そこで\log _ a  b\overrightarrow{a b}と書いてみると

\overrightarrow{a b} \times \overrightarrow{b c} = \overrightarrow{a c}

aからbまで進んで、bからcまで進むのは、aからcまで進むことと同じ」 何かわかるようになりました。 割り算にしてみましょう。

\overrightarrow{b c} = \frac{\overrightarrow{a c}}{\overrightarrow{a b}}

aからcまでの道のりがわかっているとします。aからbまで進みました。残りのbからcまでの道のりはどれだけでしょう」 「bからcまでの道のりは、aからcまでの道のりからaからbまでの道のりを除いたものです」 ということと同じです。底の変換公式とはこういうことでした。

aからbの道のりがわかったら、aからbまで進んでみましょう。 進みそうな記号にするために、a^ x を a \rhd x と書いてみましょう。

a ^ {\log _ a b} = b は

a \rhd \overrightarrow{a b} = b

aからスタートしてaからbの道のりだけ進むとbに到着します。」

a^{\log _ a  b \times \log _ b  c} = (a ^ {\log _ a  b})^ {\log _ b  c} = b ^ {\log_ b  c}= c は

a \rhd (\overrightarrow{a b}\times\overrightarrow{b c}) = (a \rhd \overrightarrow{a b}) \rhd \overrightarrow{b c} = b \rhd \overrightarrow{b c} = c

aからスタートしてaからbまでの道のりとbからcまでの道のりを進むとcに到着します。」

対数とは道のりのことでした。