かけ算の順序を変えてもよいのは、交換法則が成り立つからではない

概要

かけ算の順序を変えてもよいのはイコールだからではない

本文

かけ算の順序問題というテーマがある。
たとえば、「りんごがそれぞれ2つ乗った皿が3皿あります。りんごは全部でいくつあるでしょう。式と答えを書きなさい」という文章題が出されたときに、
式として「2×3=6」「3×2=6」のいずれか片方を正解とするか、
あるいは両方を正解とするかという話だ。
両方を正解とべきするという説に、「a×b=b×aという交換法則が成り立つから2つは同じ式である」という主張がある。
これは間違っている。
a×bとb×aは違う式である。
少なくとも字面は違っている。
a×b=b×a という等式は、両辺が値として等しいことを表しているが、同じ式であることを表しているわけではない。
たとえば、 6=6 や 18÷3=6という等式は成り立つが、
先の問題の答えに「6=6」とか「18÷3=6」という立式をしたら、これは不正解にされてしかるべきである。
イコールで結ばれたものがすべて同じ式であるのであれば、すべて正解にしないと筋が通らない。
これでは「式を書きなさい」という指示の意味がなくなってしまう。
式として、答えだけを書けばよいのだから。
つまり、等式が成り立つことは、正しい立式をしたことの必要条件ではあっても、十分条件ではない。
では、両方を正解とする立場の人は、何をもって正解を判断しているのか。
式の空間を考え、かけ算の順序が異なる式同士を、式として同値であると判断して、同値であれば正解としているということだろう。
この同値関係は先の推論より、イコールによる同値関係とは異なる。
もちろん、交換法則が成り立つからこそ、このような同値関係を入れて、答えと整合的になる、という意味で交換法則と関係はあるのだが。