座標変換よりも点の移動
概要
方程式で表された図形の座標変換が難しいので、点の移動で考える。
本文
ユークリッド空間の方程式で表される図形があるとする。たとえば平面において、
(方程式1)は、
を中心とする半径
の円である。
これを別の方程式 (方程式2)で表される図形を何か変換(一対一対応)したものと考えたいとする。方程式2の方が式がシンプルで操作しやすい。これは
を中心とする半径
の円である。
この2つの図形の関係を説明する方法はいくつかある。ひとつにはとおくと方程式1は
となり、
平面での円を考えることができる。
しかしこの考え方では、平面での図形は分かっても、
平面での図形とどう対応するのかすぐに分からない。
の関係が何を意味するのかが直観的に分からないのだ。
別の考え方で、点を動かすことを考える。図形というのは方程式を満たす点の集まり、集合と考えることができる。方程式2をベクトルに対する関数で表す(便宜上ここからは縦ベクトルにする)。
\begin{align}f \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=x^2+y^2-1\end{align}
とおくと、\begin{align}S_f=\left\{\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\mid f \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}= 0\right\}\end{align} が図形である。
方程式が図形を表すというのはつまり
\begin{align}f \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \in S_f\end{align}、 関数値がになることが点が図形に属することと同値になるということだ。方程式1は
を使って表せるから、代入すると、\begin{align}f \begin{pmatrix}x-a \\ y-b\end{pmatrix}=0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix}x -a\\ y-b\end{pmatrix} \in S_f\end{align}、右側にベクトルを足しても同値だから、\begin{align}\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \in S_f + \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}\end{align} となる*1。
これで、方程式1が、方程式2の図形の各点に を足した図形に属することを表すことが理解できた。
を足すのは
方向に
、
方向に
移動させることだと直感的に理解できる。
一般化する。点を別の点に移す操作をとおくと*2、\begin{align}f \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=0 &\Leftrightarrow \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \in S_f \\ f \left(P^{-1} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\right)=0 &\Leftrightarrow P^{-1} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \in S_f \\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \in P(S_f)\end{align} となる。
は
による
の像である。
