指数関数と対数関数を対称的に書く

数学

概要

指数関数 2^p を\bigtriangleup_2(p)、対数関数 \log_2 xを\bigtriangledown_2 (x)と書けば互いに逆関数ということがわかりやすい。
指数関数2^p を \exp_2 p と書けば対数関数 \log_2 x と記法がそろう。

本文

指数と対数には以下のような関係があります。

\begin{align*} \log_b (b^p) &= p\\ b^{\log_b x} &= x \end{align*}

この関係はどういうものなのでしょうか。

まず、対数のWikipediaの説明を見てみましょう。

対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 b^p として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は \log_b xと書き表される。

対数 - Wikipedia

x=b^p のときに、p のことを \log_b xと表記するということです。
これは、b を介した、p と x=b^pの関係とみることができます。

\begin{align*} p &\xrightarrow{\bigtriangleup_{b}} b^p\\ p &\xleftarrow{\bigtriangledown_{b}} b^p \end{align*}

p に何かをすると b^p になります。これはb の「肩に乗せる」操作なので、\bigtriangleup_{b} と書いてみましょう。
逆に、b^p に何かするとpになります。これはbの「肩に乗せる」の逆の操作で、「肩から降ろす」操作と考えられます。\bigtriangledown_{b}と書いてみましょう。

\bigtriangleup_bをpをx=b^pにする操作、\bigtriangledown_bをx=b^pをpにする操作と定義したので、2つの操作を連続するともとに戻ってきます。
\begin{align*} p &\xrightarrow{\bigtriangleup_{b}} x \xrightarrow{\bigtriangledown_b} p\\ x &\xrightarrow{\bigtriangledown_{b}} p \xrightarrow{\bigtriangleup_b} x\\ \end{align*}

これにより、指数関数(\bigtriangleup_b)と対数関数(\bigtriangledown_b)は互いに逆関数だとわかりました。
\bigtriangleup_b、\bigtriangledown_b を関数の記法で書くこともできます。

\begin{align*} \bigtriangledown_b (\bigtriangleup_{b}(p)) &= p\\ \bigtriangleup_b (\bigtriangledown_{b}(x)) &= x \end{align*}

よく高校数学で使われる表記にすると
\begin{align*} \log_b (b^p) &= p\\ b^{\log_b x} &= x \end{align*}

冒頭の式に戻りました。
しかしなんだか読みにくくなっただけで、矢印を使ったほうが読みやすかったですね。

参考までに、対数関数\log_2 x と 同様に書けるように、指数関数2^p を\exp_2 p と書いてみましょう*1。

\begin{align*} \log_b (\exp_{b}(p)) &= p\\ \exp_b (\log_{b}(x)) &= x \end{align*}

逆関数の記法で書いてみましょう。関数fの逆関数はf^{-1}と表記されることが多いです。

\begin{align*} \exp_b^{-1} (\exp_{b}(p)) &= p\\ \log_b (\log_{b}^{-1}(p)) &= p\\ \log_b^{-1} (\log_{b}(x)) &= x\\ \exp_b (\exp_{b}^{-1}(x)) &= x \end{align*}

これでだいぶすっきりしました*2が、個人的には\bigtriangleup_b、\bigtriangledown_bのように記号を使ったほうが読みやすいと思います。

*1:ネイピア数eを底とする指数関数を\expと書くことがあるので、それにならいました

*2:指数関数、対数関数どちらを逆関数にするかで場合が増えました。